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1.2.4 Resolución De Integrales Por  Fracciones Simples o Parciales

Este método permite descomponer una integral de la forma:

En integrales cuyo integrando, está constituido por expresiones fraccionarias, que por lo general son de fácil solución.

Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es importante tener en cuenta los siguientes criterios:

Ø     Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de menor grado que el denominador, se debe –si es posible- aplicar el proceso de factorización.

Ø     Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, se debe resolver primero la división de polinomios.

Para aplicar el Criterio2, es necesario recordar la siguiente información:

En una división, se relacionan el Dividendo (D), el divisor (d), el cociente (c) y el resto (r), mediante la siguiente expresión:

  (I)

Si se dividen ambos miembros de (I) entre “d” se obtiene:

Ahora bien, esta última expresión se puede particularizar para polinomios, así:

Si p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto, entonces

        Aplicando el símbolo integral a ambos miembros y los respectivos diferenciales, se obtiene:

   Ecuación1.7

 

Ahora, para poder aplicar el Criterio1, es necesario recordar la siguiente información:

Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador sea de la forma (ax + b)n ó (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx + c no tiene raíces reales, y n es un número natural.

Cuando se deba aplicar el Criterio1, se debe proceder del siguiente modo:

1.   Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación q(x) = 0.

Es importante saber, que al realizar la mencionada descomposición, es posible encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en cuatro casos:

Caso1: Factores en el denominador lineales distintos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A,B,C, etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:

 

Caso2: Factores en el denominador lineales repetidos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Constantes (A,B,C,etc) en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:

 

Caso3: Factores en el denominador cuadráticos distintos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:

 

Caso4: Factores en el denominador cuadráticos repetidos. La integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en el denominador, como se muestra a continuación:

2.   Se calculan las constantes que aparecen en cada denominador. Para ello, basta con aplicar cualquiera de los métodos que el lector ha manejado desde su formación pre-universitaria. Estos métodos no serán explicados en la presente obra, puesto que deben ser parte de las redes conceptuales previas del lector. Algunos de ellos son: Sustitución, eliminación, igualación, Coeficientes indeterminados, métodos matriciales (Por ejemplo Gauss-Jordan).

 

Nota: Muchas veces la dificultad al resolver integrales por este método, estriba en el cálculo de las mencionadas constantes. El lector debe dominar, por lo menos, una técnica que le permita resolver los sistemas de ecuaciones, que se generan al momento de intentar calcular dichas constantes.

 

3.      Se integran los sumandos que resulten. Una vez determinadas las mencionadas constantes, se obtienen integrales que - por lo general – se resuelven aplicando los métodos ya expuestos. Por esta razón, es conveniente que el lector haya estudiado - responsablemente - los tres métodos anteriores, puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte de la obra, no se incluye una explicación detallada de esos contenidos.


A continuación se presenta un conjunto de ejemplos, cuya función es introducir este cuarto método de integración.


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